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Graph Theory 离散数学第六章
阅读量:779 次
发布时间:2019-03-24

本文共 1792 字,大约阅读时间需要 5 分钟。

离散数学Ⅰ(图论)期末复习第二篇

第二篇感想

这几天简直是天天都在考试,马原、大物、选专业、离散,明天就是图论考试,加油!

基于老师的PPT和清华大学出版社的《离散数学(第五版)》


第六章 特殊的图

6.1 二部图(偶图)

定义

将顶点集分为两个不相交的子集V₁和V₂(这两个子集被称为是互补顶点子集),使得边集中的任何一条边的两个端点分别属于V₁和V₂。

充要条件

当且仅当无向图G中 没有长度为奇数的回路

匹配

  • 极大匹配:再加入任何一条边便不再是匹配的M。
  • 最大匹配:边数最多的匹配。
  • 匹配数:最大匹配中的边的条数。
  • 完美匹配:每个顶点都是饱和点的M。
  • 饱和点:与匹配中的边关联的点(如果不关联就是非饱和点)。
  • 完备匹配:若V₁与V₂中较小的一个集合(假定是V₁)中的点被最大匹配的边全部关联,那么M就是G中V₁到V₂的完备匹配。

Hall定理(存在完备匹配的充分必要条件)

设二部图G = (V₁, V₂, E) ,|V₁| ≤ |V₂|,当且仅当 V₁中任意k个顶点至少邻接V₂中的k个顶点 时,G中存在从V₁到V₂的完备匹配。(被称为相异性条件)。

Hall定理的推论
  • t条件

    • V₁中的每个顶点至少关联t条边。
    • V₂中的每个顶点至少关联t条边。

    则G中存在从V₁到V₂的完备匹配。


  • 6.2 欧拉图

    定义

    存在欧拉回路的图叫做欧拉图。

    • 欧拉回路(通路):经过无向图/有向图中每条边一次且仅一次并行遍入图中每个定点的回路(通路)。

    存在欧拉回路的充要条件

    无向图中:

    • 当且仅当G是连通图且 无奇度定点

    有向图中:

    • 当且仅当G是连通的且 每个顶点的入度等于出度

    有欧拉通路而无欧拉回路的充要条件

    无向图中:

    • 当且仅当 G是连通图恰好有两个奇度顶点

    有向图中:

    • 当且仅当 G是连通的
    • 且除了两个顶点外,其余顶点入度均等于出度
    • 而这两个顶点中,有一个顶点的 入度=出度+1(终点),另一个顶点的 出度=入度+1(起点)

    6.3 哈密顿图

    定义

    存在哈密顿回路的图。

    • 哈密顿回路(通路):经过图中每个顶点一次且仅一次的回路(通路)。

    哈密顿图的特性

  • 边数 > 点数。
  • p(G - V₁) ≤ |V₁|。
  • p(G - V₁) ≤ |V₁| + 1。
  • 哈密顿图的充分条件

  • 设G是n(n ≥ 3)阶无向简单图;
    • G中任何一对不相邻的顶点的度数之和都 > n。
  • 有向哈密顿图的充分条件

  • 设D是n(n ≥ 2)阶有向图D;
    • D的基图含有生成子图Kₙ。

  • 本文内容的应用

  • 竞赛图:比赛安排流程(任意两个队比赛一次,没有平局,用有向图描述比赛的结果)。
  • 格雷码:确定圆盘停止旋转的位置(一组n位数,相邻的两个一级最后一个和第一个之间只有一位不同)。

  • 6.4 平面图

    定义

    能画在平面上使得除顶点处外没有边交叉出现的图。

    • 外部面/无限面:面积无限的区域。
    • 内部面/有限面:面积有限的区域。
    • 边界:包围面R的所有边构成的回路。
    • 次数:边界的次数的总和。

    平面图的特性

    • 平面图的所有面的次数之和 = 边数 × 2。

    极大平面图

    • 简单平面图;
    • 任意两个不相邻的顶点之间再加一条边,所得图为非平面图时,G是极大平面图。
    判断Gₙ(n ≥ 3)阶平面图是否为极大平面图
  • G是连通的;
  • 每个面的次数都是3。

  • 极小平面图

    • G是个非平面图;
    • G中任意删除一条边,所得图为平面图时,G是极小非平面图。

    欧拉公式

    设G是个任意的连通平面图,有:

    • 顶点数 - 边数 + 面数 = 2
    推广
    • 设G是个有p个连通分支的平面图,有:
      • 顶点数 - 边数 + 面数 = 连通分支数 + 1(p ≥ 2)

    平面图的边界公式

    • 如果G是个连通的平面图且每个面的次数至少为l(l ≥ 3),有:
      • m ≤ l/(l-2) × (n-2)
    • 如果G是个p(p ≥ 2)个连通分支的平面图且每个面的次数至少为l(l ≥ 3),有:
      • m ≤ l/(l-2) × (n-p-1)

    库拉图斯基定理

    • 一个图是平面图,当且仅当他没有可收缩到K₅的子图,也没有可收缩到K₃,₃的子图。

    平面图的必要条件

  • 平面图的所有面的次数之和 = 边数 × 2。
  • 面着色:任何平面图都是4-可着色的。
  • 对偶图

    • 每个面对应一个点,而原本的图中的边就作为新定义下的点的连接的线

    本部分内容的应用

    • 地图:比如国家地理图,利用平面嵌入来展示地理信息。

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